Существительное Homework означает "домашняя работа", "домашние задания", то есть такие задания, которые учителя или преподаватели назначают своим ученикам или студентам, и которые ученики или студенты выполняют на дому.
Например:
A lot of students in the UK get too much homework.
Многие ученики в Соединенном Королевстве получают слишком много домашних заданий.
Существительное Housework означает "работа по дому, по хозяйству (например: чистка, мытье полов, приготовление пищи, и т.п.)".
Например:
I never seem to have enough time to do the housework. There's always something that need dusting or polishing.
У меня никогда не хватает времени на работу по дому. Я всегда не успеваю протереть пыль или помыть что-нибудь.