Оба существительных – и Apartment, и Flat означают "квартира", с той разницей, что Apartment более употребительно в американском английском, а Flat – в британском английском. В американском английском Flat в значении "квартира" практически не употребляется. Помимо этого, Apartment также может означать "апартаменты" (то есть квартиру более высокого уровня).
Например:
Apartments may be owned by an owner or rented by tenants.
У квартир могут быть владельцы, а могут быть арендодатели.
Large apartments often have two entrances, perhaps a door in the front and another in the back.
У больших апартаментов часто есть два входа, например – парадная дверь и задняя дверь.
An apartment consisting of the top floor of a high apartment building can be called a penthouse.
Апартаменты, которые занимают весь верхний этаж многоквартирного дома, могут называться пентхаусом.
We live in a small flat.
Мы живем в маленькой квартире.