Any One означает "любой человек или предмет из группы людей или предметов".
Например:
I can recommend any one of the books on this shelf.
Я могу порекомендовать тебе любую из книг на этой полке.
Anyone означает "любой", "кто-то", "кто-либо", "кто угодно" и т.п. Всегда пишется одним словом.
Например:
Did anyone see that UFO?
Кто-нибудь видел это НЛО?