Слово Alone может использоваться в функции прилагательного или наречия. В какой бы функции оно не использовалось, оно означает "один (одна)", "без кого-либо (без других людей) вокруг", "сам(а) по себе", и т.п.
Например:
He likes living alone.
Ему нравится жить одному.
I think we're alone now. = There are just the two of us.
Думаю, мы одни. = Тут только мы двое.
Lonely – это прилагательное, которое означает "несчастный(ая), из-за того что никого больше нет рядом".
Например:
The house feels lonely now that all the children have left home.
Теперь, когда все дети покинули дом, в этом доме одиноко.
Обратите внимание
Если человек – Alone (один, без других людей вокруг), это вовсе не значит, что он Lonely (что он чувствует себя одиноко).